Formulación hamiltoniana de un sistema con dos parámetros externos reónomos y verificación numérica de la conservación de la variable de acción — Landau & Lifshitz §49–51
Problema elegido:
«Considere un sistema unidimensional cuyo hamiltoniano depende de dos parámetros, $\lambda_1$ y $\lambda_2$. Considere movimientos periódicos. Defina un procedimiento, analítico o numérico, que permita calcular $I$ dados $\lambda_1$ y $\lambda_2$. Analice la adiabaticidad eligiendo una dependencia temporal de los parámetros en los casos en que varíen muy poco durante un período, o tengan alguna variación.»
La elección del sistema era libre, y entre varias opciones decidí aplicarlo al problema clásico de un péndulo con longitud variable en el tiempo (adiabáticamente) y en un sistema acelerado con $g_{\text{eff}}$.
Este problema tiene una historia particular de la que quiero hablar brevemente: en la Conferencia Solvay de 1911, donde físicos como Planck, Einstein y Lorentz discutían cómo cuantizar la física, alguien planteó la siguiente pregunta: si un péndulo cuelga de una cuerda que pasa por un agujero en el techo, y alguien la jala muy lentamente, ¿qué le pasa a la frecuencia de oscilación? Ya sabemos que la energía no se conservará (pues se hace trabajo al jalar la cuerda), pero resulta que $E/\nu$ sí permanece prácticamente constante. Esa cantidad es, en esencia, nuestra variable de acción (invariante adiabático).
Aquí se generaliza ese problema a dos parámetros independientes:
Se puede consultar
este cuaderno de Google Colab
con un borrador de los códigos, que incluye la parte más fundamental: la
solución numérica con RK4 de las ecuaciones de movimiento. La simulación
interactiva presentada en la sección 3 la construí con JavaScript
vanilla sobre un <canvas> de HTML, con apoyo del
modelo Claude; en ella se presentan el péndulo, el espacio de fase y la
serie temporal de la acción, con parámetros que el usuario puede variar
para ver en qué régimen de adiabaticidad está el sistema.
Para describir la posición del péndulo hace falta su longitud $l(t)$ y su ángulo $\theta$:
$$\vec r(t) = l(t)\big(\sin\theta,\,-\cos\theta\big)$$Como esta expresión usa dos cantidades, ambas dependientes del tiempo, pensé inicialmente que el parámetro $\lambda_1$ relacionado con $l(t)$ era un grado de libertad adicional del sistema. Pero no es así: en realidad, $l(t)$ es un dato externo, definido por un agente ajeno al sistema, exactamente igual que $g_{\text{eff}}(t)$. Por eso se llaman parámetros: no son incógnitas que el sistema resuelve dinámicamente.
En el lenguaje formal, estos parámetros constituyen una restricción holónoma y reónoma, que normalmente reduce los grados de libertad, no los aumenta. El único grado de libertad genuinamente dinámico sigue siendo el de siempre: $\theta$.
Derivando $\vec r(t)$ con la regla del producto (recordando que tanto $l$ como $\theta$ dependen del tiempo):
$$\dot{\vec r}(t) = \big(\dot l\sin\theta + l\dot\theta\cos\theta,\; -\dot l\cos\theta + l\dot\theta\sin\theta\big)$$y al calcular $|\dot{\vec r}|^2$, los términos cruzados con $\sin\theta\cos\theta$ se cancelan exactamente, dejando como resultado:
Ahora, como $l(t)$ es un parámetro externo, el término $\frac12 m\dot l^2$ no depende de $\theta$ ni de $\dot\theta$, así que no contribuye en nada a la ecuación de movimiento de $\theta$. Se descarta, quedando la parte dinámicamente relevante:
$$T_\theta = \frac{1}{2}m\,l(t)^2\,\dot\theta^2$$Para la energía potencial se usa $U=mg_{\text{eff}}(t)\,y$, con $y$ la componente vertical de la posición de la masa. Con $y(\theta)=-l(t)\cos\theta$ y expandiendo $\cos\theta\approx 1-\theta^2/2$:
Sin término lineal en $\theta$ (por expandir alrededor de un punto de equilibrio) ni términos constantes que sabemos no afectarán la función lagrangiana.
Con $T_\theta$ y $U$ construidos, puedo escribir la función lagrangiana:
$$L(\theta,\dot\theta;t) = \frac{1}{2}m\,l(t)^2\dot\theta^2 - \frac{1}{2}m\,g_{\text{eff}}(t)\,l(t)\,\theta^2$$El momento conjugado:
$$p_\theta = \frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = m\,l(t)^2\dot\theta \quad\Longrightarrow\quad \dot\theta = \frac{p_\theta}{m\,l(t)^2}$$Esta transformada de Legendre me da el Hamiltoniano:
Una verificación rápida me permitió validar que: (1) cada término tiene consistencia dimensional (unidades de energía), y (2) en el límite de parámetros constantes esta función se reduce exactamente a la del oscilador armónico simple, con momento de inercia $M=ml^2$ y frecuencia $\omega^2 = g_{\text{eff}}/l$.
A parámetros congelados en un instante dado, el sistema es un oscilador armónico con $\omega(t)=\sqrt{g_{\text{eff}}(t)/l(t)}$, así que la variable de acción es directamente:
La condición de adiabaticidad, según Landau (§49–51), se traduce en dos desigualdades simultáneas:
$$\left|\frac{\dot l}{l}\right| \ll \omega(t), \qquad \left|\frac{\dot g_{\text{eff}}}{g_{\text{eff}}}\right| \ll \omega(t)$$(Landau lo desarrolla para un único parámetro adiabático, pero menciona que la extensión a varios parámetros es aditiva.)
Para explorarlas numéricamente elegí perfiles sinusoidales con tasas independientes:
con $\epsilon_1,\epsilon_2\ll 1$ y $\omega_0=\sqrt{g_0/l_0}$ la frecuencia natural sin perturbar. Definí los parámetros adimensionales de adiabaticidad:
$$\eta_1 = \frac{\Omega_1}{\omega_0}, \qquad \eta_2 = \frac{\Omega_2}{\omega_0}$$con $\eta_i\ll 1$ correspondiendo al régimen adiabático y $\eta_i \gtrsim 1$ al no adiabático.
| Parámetro | Símbolo | Valor / rango | Rol físico |
|---|---|---|---|
| $m$ | Masa del péndulo | $1$ kg (fijo) | Escala de energía e inercia rotacional $ml^2$ |
| $l_0$ | Longitud base | $1$ m (fijo) | Junto con $g_0$ fija $\omega_0=\sqrt{g_0/l_0}$ |
| $g_0$ | Gravedad base | $9.8$ m/s² (fijo) | Junto con $l_0$ fija $\omega_0$ |
| $\epsilon_1$ | Amplitud de $l(t)$ | $0$–$0.3$ (def. $0.1$) | Qué tanto se estira/encoge la cuerda |
| $\epsilon_2$ | Amplitud de $g_{\text{eff}}(t)$ | $0$–$0.3$ (def. $0.1$) | Qué tanto varía la gravedad efectiva |
| $\Omega_1$ | Frecuencia de $l(t)$ | $0.001$–$3\,\omega_0$ (def. $0.05\,\omega_0$, log) | Determina $\eta_1=\Omega_1/\omega_0$ |
| $\Omega_2$ | Frecuencia de $g_{\text{eff}}(t)$ | $0.001$–$3\,\omega_0$ (def. $0.05\,\omega_0$, log) | Determina $\eta_2=\Omega_2/\omega_0$ |
| $\theta_0$ | Ángulo inicial | $0.05$–$0.5$ rad (def. $0.2$) | Condición inicial; $p_\theta(0)=0$ siempre |
| $h$ | Paso RK4 | $(2\pi/\omega_{\max})/200$ (adaptativo) | $\omega_{\max}=\max(\omega_0,\Omega_1,\Omega_2)$: resuelve siempre la oscilación más rápida presente |
La simulación integra numéricamente las ecuaciones canónicas de Hamilton de la sección 2.4 mediante RK4 de paso fijo (no autónomo, ya que $l(t)$ y $g_{\text{eff}}(t)$ dependen explícitamente del tiempo), con el paso de tiempo recalculado automáticamente para resolver siempre la frecuencia más rápida presente entre $\omega_0$, $\Omega_1$ y $\Omega_2$. Se visualizan simultáneamente: (i) la animación del péndulo, con la longitud de la cuerda cambiando visiblemente conforme $l(t)$ varía; (ii) el espacio de fase $(\theta,p_\theta)$, con una estela que muestra si la órbita se deforma suavemente (adiabático) o se distorsiona de forma irregular (no adiabático); y (iii) la serie temporal de $I(t)/I(0)$, con una línea de referencia en $y=1$ para apreciar cuánto se aparta la variable de acción de su valor inicial. Los controles permiten variar $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $\Omega_1$, $\Omega_2$ y $\theta_0$ en vivo, y muestran $\eta_1$, $\eta_2$ y $\Delta I/I_0$ actualizados en cada cuadro.