¿Qué es un invariante adiabático?
En un sistema hamiltoniano periódico cuyos parámetros externos (aquí, la
longitud del péndulo l(t) y la gravedad efectiva g_eff(t)) cambian
lentamente comparados con el período propio de
oscilación, la variable de acción I = E/ω se conserva
aproximadamente — aunque ni la energía E(t) ni la frecuencia ω(t) lo
hagan por separado. Este resultado, clásico de la mecánica hamiltoniana
(ver Landau & Lifshitz, Mecánica, §49–51), es la base de los
invariantes de acción-ángulo y explica fenómenos tan distintos como el
confinamiento magnético de partículas cargadas o el bombeo de energía en
sistemas paramétricos.
Los parámetros η₁ = Ω₁/ω₀ y
η₂ = Ω₂/ω₀ miden precisamente qué tan "lenta" es
esa variación: son la razón entre la frecuencia de modulación de cada
parámetro (Ω₁ para l(t), Ω₂ para g_eff(t)) y la frecuencia propia del
péndulo ω₀ = √(g₀/l₀). Cuando η ≪ 1 (extremo izquierdo de los sliders
logarítmicos) el cambio es lento frente a una oscilación del péndulo y
el régimen es adiabático: I(t) permanece casi constante. Cuando η ~ 1 o
mayor, el parámetro cambia en la misma escala de tiempo que una
oscilación completa, el invariante se rompe y I(t)/I(0) se aleja
visiblemente de 1. Mové los sliders Ω₁/Ω₂ de un extremo a otro y
observá cómo la elipse del espacio de fase pasa de "respirar"
suavemente sin cambiar de área a deformarse de forma irregular.
La simulación integra las ecuaciones canónicas de Hamilton con
Runge-Kutta de orden 4 y paso fijo (no se usa la fórmula analítica de
acción-ángulo), ajustando automáticamente el paso de tiempo a la
frecuencia más rápida presente entre ω₀, Ω₁ y Ω₂ para no perder
precisión numérica. El valor de ΔI/I₀ mostrado es el máximo
apartamiento relativo observado desde el último reinicio — no solo lo
visible en la ventana graficada — para que sea una medida honesta de
cuán bien se conserva el invariante durante toda la corrida.