Dilatación temporal gravitacional y cinemática en la aproximación de campo débil: por qué el reloj de un satélite GPS adelanta $\sim 38\ \mu$s cada día
El Sistema de Posicionamiento Global determina la posición de un receptor en la superficie terrestre midiendo el tiempo de vuelo de señales emitidas por una constelación de satélites cuyos relojes atómicos están sincronizados. La posición se obtiene, en esencia, multiplicando esos intervalos de tiempo por la velocidad de la luz: un error de tiempo $\Delta\tau$ se traduce directamente en un error de distancia $c\,\Delta\tau$. Como $c\approx 3\times10^{8}$ m/s, un desfase de apenas un microsegundo equivale a unos 300 metros de error de posición. Esta sensibilidad extrema es la que hace que el GPS sea uno de los pocos sistemas de ingeniería de uso cotidiano en los que ignorar la relatividad lo volvería inservible en cuestión de minutos.
Los relojes de los satélites están sometidos a dos efectos relativistas de signo opuesto respecto a un reloj en la superficie. Por un lado, la relatividad especial (RE) predice que un reloj en movimiento marcha más lento: el satélite, que orbita a unos $3.9$ km/s, ve su reloj atrasarse. Por otro, la relatividad general (RG) predice que un reloj situado a mayor potencial gravitacional —más lejos de la masa terrestre— marcha más rápido: a $20\,200$ km de altitud el satélite está en un campo mucho más débil que la superficie, así que su reloj tiende a adelantarse. La pregunta central de esta tarea es cuál de los dos efectos domina, cuánto vale el resultado neto y qué error acumularía el sistema si no se corrigiera.
Históricamente, la magnitud de estas correcciones fue objeto de debate durante el diseño del sistema en los años setenta: no todos los ingenieros estaban convencidos de que un efecto tan pequeño hubiera de tenerse en cuenta, hasta el punto de que los primeros satélites llevaron un sintetizador de frecuencia que podía activarse o no. La corrección resultó ser real y perfectamente medible, y hoy los relojes se ajustan deliberadamente en fábrica para compensarla. La exposición moderna de referencia es la de N. Ashby (2003).
Objetivos de la tarea:
Se puede consultar
este cuaderno de Google Colab
con un borrador de los cálculos numéricos. La simulación interactiva de la sección 3
la construí con JavaScript vanilla sobre un <canvas> de HTML, con
apoyo del modelo Claude; en ella se integran en vivo las tasas RE, RG y neta, y se
visualiza cómo el desfase acumulado —y el error de posición asociado— crece con el
tiempo para distintas altitudes orbitales.
Se puede hallar un video introductorio muy interesante sobre los relojes atómicos y el funcionamiento del GPS aquí: youtube.com/watch?v=p2BxAu6WZI8.
Alrededor de una masa como la Tierra el campo gravitacional es débil ($|\Phi|/c^2 \sim 10^{-9} \ll 1$), de modo que la métrica del espacio-tiempo se aparta muy poco de la de Minkowski. En coordenadas cuasi-cartesianas y con el potencial newtoniano $\Phi$ (con la convención $\Phi<0$ y $\Phi\to 0$ en el infinito), esa desviación se escribe:
El tiempo propio $\dd\tau$ que mide un reloj físico que sigue una trayectoria dada se relaciona con el intervalo por $c^2\,\dd\tau^2 = -\dd s^2$ (para trayectorias tipo tiempo). Sustituyendo la métrica:
$$c^2\,\dd\tau^2 = \left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right)c^2\,\dd t^2 - \left(1-\frac{2\Phi}{c^2}\right)\dd\vec{x}^{\,2}$$Para un reloj que se mueve con velocidad $\vec v$ en el sistema de coordenadas, $\dd\vec{x}^{\,2} = v^2\,\dd t^2$. Factorizando $c^2\,\dd t^2$ en el lado derecho:
$$c^2\,\dd\tau^2 = c^2\,\dd t^2\left[\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right) - \left(1-\frac{2\Phi}{c^2}\right)\frac{v^2}{c^2}\right]$$Divido entre $c^2\,\dd t^2$ y tomo la raíz para despejar $\dd\tau/\dd t$:
$$\frac{\dd\tau}{\dd t} = \sqrt{\,1 + \frac{2\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} + \frac{2\Phi}{c^2}\frac{v^2}{c^2}\,}$$Cada uno de los términos pequeños es del orden de $10^{-9}$ o menor, así que conservo solo primer orden. El término cruzado $\tfrac{2\Phi}{c^2}\tfrac{v^2}{c^2}\sim 10^{-18}$ es un producto de dos cantidades pequeñas y se descarta:
$$\frac{\dd\tau}{\dd t} \approx \sqrt{\,1 + \frac{2\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{c^2}\,}$$Ahora uso la expansión $\sqrt{1+x}\approx 1+\half x$ válida para $|x|\ll 1$, con $x = \tfrac{2\Phi}{c^2} - \tfrac{v^2}{c^2}$. Término a término: $\half\cdot\tfrac{2\Phi}{c^2} = \tfrac{\Phi}{c^2}$ y $\half\cdot\left(-\tfrac{v^2}{c^2}\right) = -\tfrac{v^2}{2c^2}$, de modo que:
Aplico la fórmula anterior a dos relojes —uno en el satélite, otro en la superficie— y resto sus tasas. El "1" se cancela y queda la diferencia relativa de marcha:
Con el potencial newtoniano $\Phi = -GM/r$ y, para una órbita circular, la velocidad orbital $v_{\text{sat}} = \sqrt{GM/r}$ (de igualar la fuerza gravitacional a la centrípeta). Como primera aproximación desprecio la velocidad de rotación del reloj de superficie ($v_{\text{tierra}}\approx 0$); su inclusión es un refinamiento que se comenta en la sección 4.
Con $v_{\text{tierra}}\approx 0$, la contribución cinemática es $-v_{\text{sat}}^2/(2c^2)$. Usando $v_{\text{sat}}^2 = GM/r$:
$$\left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t}\right)_{\text{RE}} = -\frac{v_{\text{sat}}^2}{2c^2} = -\frac{GM}{2rc^2}$$Evaluando con $GM_\oplus = 3.986\times10^{14}$ m³/s², $r_{\text{GPS}} = 2.656\times10^{7}$ m y $c = 2.998\times10^{8}$ m/s:
$$\left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t}\right)_{\text{RE}} = -\frac{3.986\times10^{14}}{2\,(2.656\times10^{7})(2.998\times10^{8})^2} \approx -8.35\times10^{-11}$$Es una fracción adimensional negativa: el reloj del satélite pierde $8.35\times10^{-11}$ s por cada segundo. Multiplicando por los $86\,400$ s de un día:
$$-8.35\times10^{-11}\times 86\,400\ \text{s} \approx \mathbf{-7.2\ \mu s/día}$$La contribución gravitacional es $(\Phi_{\text{sat}}-\Phi_{\text{tierra}})/c^2$. Con $\Phi = -GM/r$, evaluado en $r$ (satélite) y $R_\oplus$ (superficie):
$$\left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t}\right)_{\text{RG}} = \frac{1}{c^2}\left(-\frac{GM}{r} + \frac{GM}{R_\oplus}\right) = \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{r}\right)$$Como $r > R_\oplus$, el paréntesis es positivo: el reloj del satélite adelanta. Evaluando con $R_\oplus = 6.371\times10^{6}$ m:
$$\left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t}\right)_{\text{RG}} = \frac{3.986\times10^{14}}{(2.998\times10^{8})^2}\left(\frac{1}{6.371\times10^{6}} - \frac{1}{2.656\times10^{7}}\right) \approx +5.29\times10^{-10}$$Por día:
$$+5.29\times10^{-10}\times 86\,400\ \text{s} \approx \mathbf{+45.7\ \mu s/día}$$El efecto neto es la suma de ambas contribuciones. La RG (que adelanta) domina ampliamente sobre la RE (que atrasa):
Es decir, el reloj del satélite adelanta unos $38.5$ microsegundos cada día respecto al de la superficie. Este desfase se traduce en un error de posición multiplicándolo por $c$:
$$\text{error} = c\cdot\Delta\tau \approx (3\times10^{8}\ \text{m/s})(38.5\times10^{-6}\ \text{s}) \approx \mathbf{11.5\ km/día}$$Un sistema de navegación que acumulara 11.5 km de error cada día sería completamente inútil para su propósito: de ahí que la corrección relativista esté integrada de fábrica en cada satélite, ajustando la frecuencia de su reloj para que, visto desde tierra, marche al ritmo correcto.
Como RE y RG tienen signos opuestos y dependencias distintas del radio, existe una altitud a la que se cancelan exactamente. Igualo las magnitudes (RG = |RE|):
$$\frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{R_\oplus} - \frac{1}{r}\right) = \frac{GM}{2rc^2}$$Cancelo el factor común $GM/c^2$ y despejo. Multiplicando ambos lados por $r$:
$$\frac{r}{R_\oplus} - 1 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r}{R_\oplus} = \frac{3}{2}$$Por debajo de esta altura (órbitas bajas, LEO) domina la RE y el reloj del satélite atrasa (neto negativo); por encima —como la órbita GPS— domina la RG y el reloj adelanta (neto positivo). La simulación permite barrer la altitud y ver el resultado neto cambiar de signo al cruzar este punto.
| Símbolo | Significado | Valor / rango | Rol físico |
|---|---|---|---|
| $c$ | Velocidad de la luz | $2.998\times10^{8}$ m/s (fijo) | Convierte tiempo en distancia y fija la escala de los efectos |
| $GM_\oplus$ | Parámetro gravitacional | $3.986\times10^{14}$ m³/s² (fijo) | Determina $\Phi=-GM/r$ y $v=\sqrt{GM/r}$ |
| $R_\oplus$ | Radio terrestre | $6.371\times10^{6}$ m (fijo) | Potencial del reloj de superficie; base de la altitud |
| $r$ | Radio orbital | $R_\oplus$–$\sim 4R_\oplus$ (slider) | Único parámetro libre: fija $v$, $\Phi$ y las tres tasas |
| $r_{\text{GPS}}$ | Órbita GPS | $2.656\times10^{7}$ m (alt. $\approx 20\,200$ km) | Preset principal; neto $\approx +38.5\ \mu$s/día |
| $v_{\text{GPS}}$ | Velocidad orbital GPS | $\sqrt{GM/r}\approx 3.87\times10^{3}$ m/s | Fija la contribución cinemática RE |
| $r_{\text{null}}$ | Radio de cancelación | $1.5\,R_\oplus\approx 9.557\times10^{6}$ m | Neto $\approx 0$; frontera del cambio de signo |
| — | Aceleración temporal | $1$ s sim $\to$ hasta $\sim N$ h reales (slider) | Amplifica el desfase para hacerlo visible en pantalla |
La simulación integra en vivo las tres tasas derivadas en la sección 2 — $\text{RE}=-GM/(2rc^2)$, $\text{RG}=(GM/c^2)(1/R_\oplus-1/r)$ y su suma— para una altitud orbital que el usuario controla con un slider. Se visualizan simultáneamente: (i) la Tierra con un satélite orbitando a un radio escalado visualmente (la física se calcula siempre con los metros reales), etiquetado con la altitud actual; (ii) dos "relojes" —tierra y satélite— cuya diferencia de tiempo propio $\Delta\tau=\tau_{\text{sat}}-\tau_{\text{tierra}}$ se acumula y se muestra en ns$\to\mu$s, junto con el error de posición $c\,\Delta\tau$ en m$\to$km; (iii) la descomposición numérica y en barra de las contribuciones RE (hacia abajo) y RG (hacia arriba); y (iv) una gráfica del desfase acumulado frente al tiempo con tres líneas (RE en rojo, RG en verde, neto en cian) y una referencia en cero. Un slider de aceleración temporal amplifica el efecto para hacerlo visible, y tres presets —GPS real, órbita baja LEO y altura de cancelación— permiten comprobar cómo el resultado neto cambia de signo al cruzar $r=\tfrac32 R_\oplus$.